At kunne løse en andengradsligning er brugt i mange forskellige matematiksituationer. Men at løse en andengradsligning er lidt mere kompliceret end en almindelig ligning. En andengradsligning kan kendes ved at der er et x-led sat i anden. Den generelle for en andengradsligning ser ud på følgende måde:
ax^2+bx+c=0
Ud fra det finder man så værdierne for a, b, og c.
Ser ligningen f. eks. sådan ud:
5x^2+8x+3=0
Er a=5, b=8 og c=3.
Ud fra det finder man diskriminanten vha. følgende formel:
Diskriminanten fortæller os, hvor mange løsninger der er til andengradsligningen, der gælder følgende:
- Er d større end 0 har ligningen to løsninger.
- Er d=0 har ligningen 1 løsning.
- Er d mindre end 0 har ligningen ingen løsninger.
Diskrimanten for ligningen ville altså blive:
d=8^2-4·5·3
=64-60
=4
Ligneingen har derfor 2 løsninger.
Dem finder vi ud fra følgende formler:
x_1=(-b+√d)/2a
x_2=(-x-√d)/2a
Vi kan så finde løsninger til ligningen:
x_1=(-8+√4)/(2·5)=(-8+2)/10=(-6)/10=-0,6
x_2=(-8-√4)/(2·5)=(-8-2)/10=(-10)/10=-1
De sidste to linjer som et billede:
Ligningen har altså løsninger x=-0,6 og x=-1.
Hvis diskriminanten er 0
Hvis diskriminanten giver 0 har ligningen en løsning som beregnes ved at sige:
x=(-b)/2a
Det skyldes at man ikke kan tage kvadratrode til 0.
Grafen for en andengradsligning
Grafen for en andengradsligning vil altid være en parabel.
Løsningerne for x til en andengradsligning, fortæller hvor parablen skærer på x-aksen. Det vil altså sige at hvis ligningen har 2 løsninger, skærer den 2 steder på x-aksen.
Det gør ligningen fra eksemplet op over, den ses afbilledet her:
Parablen for ligningen er også en ”glad” parabel. Det skyldes at a er 8 og dermed større end 0. Der gælder nemlig følgende:
Er a større end 0 er det en glad parabel.
Er a mindre end 0 er det en sur parabel.
Her ses f. eks. grafen for andengradsligningen:
Det er altså den samme forskrift som før, ud over at a er -5 i stedet for 5:
Vi kan se at parabel er sur, da a er negativ.
Betydning af b
En anden forskel på de to grafer er placeringen af grafens toppunkt.
Ved den første graf ligger toppunktet til venstre for y-aksen, mens den i den anden ligger til venstre for y-aksen. Det skyldes følgende regel:
Har a og b samme fortegn ligger toppunktet til venstre for y-aksen.
Har a og b forskellige fortegn, ligger toppunktet til højre for y-aksen.
Er b=0 ligger toppunktet på y aksen, det ses f. eks. for ligningen: y=5x^2+3
Slutteligt følger betydningen af c. For en parabel fortæller c skæringen på y-aksen. På alle de tre ovenstående parabler er c=3 og de skærer derfor alle sammen y-aksen i punktet (0,3).
Ændrer vi c til 5, kan vi se at den skærer y-aksen i punktet (0,5) i stedet for:
Beregning af toppunkt
Hvis du i en opgave bliver bedt om at beregne toppunktet for en parabel kan det gøres med følgende formel:
Skulle vi beregne toppunktet fra det første eksempel , hvor d var =4, ville det se således ud:
Toppunktet for andengradsligningen er altså (-0.8,-0.2)
Det kan også ses på billedet af parablen:
Husk parentes omkring 2a nede i nævneren, da “a” ellers står oppe i tælleren 🙂
Du har ret – tak!